Aggirare l’indeterminazione?

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Claudio Della Volpe

La Meccanica Quantistica (MQ) è una concezione delle cose radicalmente diversa dalla meccanica classica e basata su una matematica più sofisticata e complessa; proprio per questo motivo sia gli addetti ai lavori che il grande pubblico fanno fatica a capirsi e la divulgazione ne soffre moltissimo.

Un buon esempio di questo problema viene da una recente scoperta effettuata in terra spagnola ma ad opera di un gruppo internazionale di scienziati diretto da Morgan W. Mitchell e pubblicata su Nature in un articolo il cui primo nome è quello di un giovane italiano Giorgio Colangelo.

Simultaneous tracking of spin angle and amplitude beyond classical limits”, di Giorgio Colangelo, Ferran Martin Ciurana, Lorena C. Bianchet, Robert J. Sewell e Morgan W. Mitchell

La maggior parte dei giornali divulgativi che hanno riportato la scoperta si sono lanciati in titoli del tutto fuori luogo:

Scientists evade the Heisenberg uncertainty principle

oppure

The study reports a technique to bypass the Heisenberg uncertainty principle.

Ma se uno legge con attenzione non c’è nessuna evasione o aggiramento.

Anche il giornale dell’INAF che ha intervistato l’autore italiano, l’abruzzese Giorgio Colangelo scrive:

Indeterminazione, scacco ad Heisenberg

Il più celebre principio della meccanica quantistica è stato aggirato grazie a uno stratagemma, messo a punto all’Icfo di Barcellona

Le cose sono più complesse e dunque più difficili da esprimere; l’intervista successiva è a questo proposito più chiara, ma anche l’autore si lancia in una spiegazione tutto sommato al limite del rigore e che lascia un pò di ….incertezza.

D. Colangelo, partiamo dall’inizio, da quel principio che Werner Karl Heisenberg enunciò 90 anni fa, nel 1927, e che ora voi state sfidando. Cosa dice esattamente?

R.«Il principio di indeterminazione di Heisenberg correla due quantità per descrivere completamente un sistema fisico. Questo vale per posizione e velocità di un atomo ma anche per l’ampiezza e la fase di un segnale. Al conoscere precisamente una di queste due l’altra diventa indeterminata, per cui resta impossibile descrivere completamente il nostro sistema. Tuttavia altri sistemi fisici, come per esempio lo spin di un atomo, non vengono descritti da due, bensì da tre quantità, come per esempio le tre direzioni spaziali su cui può orientarsi lo spin».

D.Questi sistemi a tre quantità non sono soggetti anch’essi al principio d’indeterminazione?

R.«Questi sono descritti da una relazione d’indeterminazione un po’ più generale che correla le tre quantità dello spin: la relazione d’indeterminazione di Robertson-Schrödinger. Anche in questo caso risulta comunque impossibile conoscere esattamente tutto del sistema, cioè le tre orientazioni dello spin, tuttavia se ne possono conoscere quasi precisamente due. E quelle due sono sufficienti per conoscere l’ampiezza e la fase di un segnale rivelato dagli atomi con estrema precisione, che è quello a cui effettivamente siamo interessati».

D. Geniale: ne “sacrificate” una per salvare le due che vi servono. E siete stati voi i primi a pensarci?

R.«Probabilmente per un teorico questo fatto era già noto, perché è una conseguenza semplice della teoria. Ma spesso le idee semplici sono anche quelle che possono essere applicate ai sistemi più diversi. Il nostro merito è che noi siamo stati i primi ad accorgerci che da questa conseguenza si poteva derivare un protocollo sperimentale semplice da utilizzare nella pratica. E abbiamo dimostrato, con un esperimento, che se ne poteva ottenere un vantaggio metrologico significativo rispetto a quello che è fatto fino a ora, tanto da poter migliorare gli attuali strumenti».

 

«Il nostro esperimento ha dimostrato che, effettivamente, l’uso di spin atomici in opportune configurazioni rispetto al campo magnetico permette di misurare ampiezza e fase dello spin con precisione oltre i limiti classici.

Si può tentare di fare meglio senza avere la certezza di riuscirci? Ci provo e potrei non riuscirci.

Cominciamo col ricordare di cosa parliamo.

In MQ le grandezze fisiche sono rappresentate da operatori, ossia operazioni analitiche condotte su funzioni, le funzioni d’onda; poniamo di avere a che fare con le due operazioni prodotto e derivata applicate entrambe ad una funzione d’onda e sia questa funzione indicata da ψ(x).

Se applichiamo due operatori uno dopo l’altro alla funzione l’ordine di applicazione non è indifferente; poniamo di applicare prima il prodotto e poi la derivata o prima la derivata e poi il prodotto avremo:

Come si vede i due risultati non sono uguali e dunque la loro differenza non è nulla; tale differenza viene definita commutatore e si dice che il commutatore fra i due operatori non è nullo e che i due operatori non commutano.

Se questo avviene le due grandezze corrispondenti ai due operatori sono dette incompatibili; di più se la differenza fra le due operazioni è pari a ossia all’unità immaginaria per il quanto di Planck diviso 2 pigreco le due grandezze si dicono canonicamente coniugate.

Il famosissimo principio di indeterminazione di Heisenberg che proclama la non conoscibilità contemporanea delle quantità fisiche con precisione assoluta si riferisce proprio a grandezze o variabili incompatibili e coniugate, non a qualunque coppia (o tripletta) di grandezze o variabili.

Già in passato la comprensione del principio di indeterminazione ha portato a problemi; per esempio Condon nel 1929 credette di aver trovato una violazione del principio nel caso dei momenti angolari dell’atomo di idrogeno, ma le grandezze a cui faceva riferimento sono incompatibili ma non coniugate e dunque il principio di indeterminazione non si applicava.

U. Condon, Remarks on uncertainty principles, in Science, nº 69, 1929, pp. 573-574.

Alle variabili che non siano coniugate ma solo incompatibili si applica una diversa relazione detta relazione di indeterminazione di Robertson- Schroedinger. Mentre Schroedinger lo conoscete sicuramente , non molti si ricorderanno di Howard Percy Robertson un fisico matematico che diede punti anche ad Einstein, perchè fece da referee ad un suo lavoro e lo rifiutò, costringendo a cambiarne le conclusioni; Einstein non visse bene la cosa, ma la Fisica e noi tutti ne abbiamo avuto giovamento.

Questa però è un’altra storia che potete trovare qui:

Einstein Versus the Physical Review Daniel Kennefick

Physics Today 58, 9, 43 (2005); doi: 10.1063/1.2117822 View online: http://dx.doi.org/10.1063/1.2117822

In conclusione alle grandezze misurate dal gruppo di ricercatori guidato da Mitchell si applica la relazione di Robertson e non quella di Heisenberg e dunque non c’è alcun aggiramento. Ma cosa dice la relazione di Robertson?

La relazione dice che il prodotto delle due deviazioni standard riferite a due grandezze incompatibili deve essere superiore alla metà del valore medio del commutatore applicato ad una certa funzione; in definitiva mentre Heisenberg si applica nel caso di misure delle osservabili sullo stesso sistema la disuguaglianza di Robertson fa riferimento alla distribuzione dei valori (con deviazioni standard σA e σB ) delle osservabili A e B in un insieme statistico di sistemi quantistici identici. Le due condizioni sono alquanto diverse e dunque lo sono anche le rispettive “violazioni”. Tutto qua spero di non aver detto sciocchezze. Correggetemi.

Per saperne di più:

Simultaneous tracking of spin angle and amplitude beyond classical limits”, di Giorgio Colangelo, Ferran Martin Ciurana, Lorena C. Bianchet, Robert J. Sewell e Morgan W. Mitchell