O.T. Cosa è l’immunità di gregge: un punto di vista algebrico.

Claudio Della Volpe

Può sembrare strano che il nostro blog si occupi di questo argomento; ma se ci pensate la vita è la reazione chimica meglio riuscita e il diffondersi di una epidemia è semplicemente una reazione indesiderata da controllare; dunque OT ma fino ad un certo punto. Visto che l’argomento è caldo discuterne non fa male.

Cosa è l’immunità di gregge: un punto di vista algebrico. Perchè è importante vaccinarsi.

La parola immune viene dal latino immunis formato da in- e munus ; in ha qui senso negativo e munus cioè “obbligo, servizio, imposta“; significa quindi “esente da obblighi”. Si riferiva allora all’esenzione dal servire qualcuno contro qualcun altro.

Al momento immune si riferisce al fatto di essere libero dalla possibilità di ammalarsi di una certa infezione; si può divenire immuni o perchè si è avuta la malattia o perchè si è stati vaccinati.

Supponete di avere un gregge di n pecore e di volerlo rendere immune ad una delle numerose malattie di cui le pecore soffrono. Vaccinare gli animali non è semplice; supponete di averle vaccinate tutte meno una e di chiedervi a che prò dobbiate fare questo ultimo sforzo. Dopo tutto anche se quest’ultima pecora si ammalasse dato che le altre n-1 sono state tutte vaccinate la malattia non si potrebbe diffondere oltre. In fondo ragionando così il gregge che avete vaccinato tutto meno una pecora (n-1) sarebbe immune a parte quella pecora particolare.

Se avete un gregge abbastanza grande potreste fare il medesimo ragionamento anche fermandovi ad n-2. Dovreste essere proprio sfortunati se giusto di quelle due pecore non vaccinate una si ammalasse e venissero in contatto proprio loro in quella massa enorme.

In effetti questo ragionamento se avete un gregge grandissimo potreste estenderlo anche ad un 10% di pecore lasciandole senza protezione e così via.

Ora supponete che parta una epidemia; supponete che voi abbiate un gregge totalmente non protetto; ogni pecora ne infetterebbe un certo numero; se l’epidemia parte questo vuol dire che il numero R0 di pecore che si infettano dopo che la prima si è ammalata deve essere >1; se R0 >1 allora l’epidemia si estende

Ma cosa succederebbe nel caso del vostro gregge parzialmente protetto? Quanti casi secondari ci sarebbero?

Possiamo chiamare questo numero Rp, dove p sta per protetto. Questo nuovo numero è uguale ad R0 moltiplicato la probabilità di incontro con una pecora suscettibile all’infezione. Supponiamo di avere un vaccino perfetto che funziona bene e di avere un mescolamento casuale perfetto del gregge: il nuovo numero sarà uguale ad

Rp = R0 × (1-Vc)

dove Vc è semplicemente la frazione di pecore vaccinate.


La domanda che viene naturale è: quale percentuale del gregge dovete vaccinare per prevenire una epidemia? Dato che l’epidemia parte se il numero di casi secondari è maggiore di 1, allora il limite sarà: Rp < 1. Ossia 
 
1 > R0 × (1- Vc) 
 
o usando ancora l’algebra:

Vc > 1-1/ R0

Così il gregge è protetto a condizione che voi abbiate vaccinato almeno la proporzione

Vc > 1-1/R0. Come vedete Rp è scomparso ma R0 è rimasto.

Per esempio se R0 per una certa malattia in una data comunità è 2 allora la copertura sufficiente a bloccare il contagio epidemico è il 50%.

Se invece R0 è 10, allora è necessario il 90% e se è 20 è il 95%.

Conclusione: potete eradicare una malattia vaccinando anche meno della intera popolazione; tuttavia questo è vero a condizione che voi abbiate vaccini perfetti, che convertono sierologicamente tutti i vaccinati e che i contatti siano ben controllati (ossia che il vostro sistema non preveda immissioni dall’esterno).

Qui sotto trovate le percentuali di copertura necessarie secondo questo semplice modello (abbastanza limitato) a tenere sotto controllo l’infezione; prendiamo un caso semplice; la rosolia, e pensiamo di vaccinare solo le ragazze sulla base del fatto che tanto il problema è solo per le donne in gravidanza; questo, a parte che tecnicamente non è vero perchè le complicanze della rosolia colpiscono anche gli uomini, sarebbe in conflitto con l’esigenza di coprire una fetta di popolazione superiore all’80% dato un R0 di 6. Dunque anche questo semplice modello ha un uso pratico.

Il modello è basato su due ipotesi: (1) vaccino perfetto (ipotesi non realistica, la sieroconversione avviene in un numero di casi ridotto (poniamo 90%)) e inoltre (2) sistema in studio non chiuso, capace di scambi con le altre popolazioni. Dato che le due condizioni non sono banali da controllare o modificare, l’unico modo di ottenere una efficace immunità di gregge è di avere una percentuale di vaccinazione molto alta, la più alta possibile, vicina al 100%. Per le malattie ad alta infettività come il morbillo, per il quale R0 è prossimo a 20, il 90-95% sarebbe comunque necessario. In altri casi potrebbe bastare di meno, ma averne la sicurezza non è banale; è più facile aumentare la percentuale di vaccinati.

Esiste tuttavia anche un altro aspetto che occorre considerare: cosa succede se la percentuale di sieroconversione è inferiore a quella teorica? Per esempio, alcuni vaccini vengono ripetuti perché la efficacia di sieroconversione è E=90%; dunque la prima volta avremo un successo del 90%; poi ripeteremo la vaccinazione e verosimilmente adesso raggiungeremo un valore maggiore perché anche chi la prima volta non aveva reagito reagirà; e dunque arriveremo poniamo al 99%. Ha senso ripetere la vaccinazione?

Rimaniamo al caso del 90%; la equazione di Vc diventerà Vc > (1-1/R0) /E; adesso se E è troppo bassa potremmo avere l’impossibilità di rispettare la condizione; Vc non può superare 1 mentre se supponiamo R0 =20 e E=0.9, cioè una malattia molto infettiva ed un vaccino efficace solo al 90%, avremo che Vc dovrebbe superare il 100%, il che è impossibile! In questo caso, con una malattia che produce 20 casi secondari, occorre un vaccino efficace almeno al 95%. Con il morbillo che sembra dia fra 12 e 18 casi secondari l’efficacia E dovrebbe essere molto simile nel caso peggiore mentre potrebbe scendere al 92% nel caso migliore.

Per comprendere bene l’importanza di questo parametro E considerate che anche se R0 è solo 2 il vaccino non può essere meno efficace del 50% altrimenti anche tutta la popolazione vaccinata non servirà a nulla.

Dunque per affrontare l’epidemia ci vogliono vaccini efficaci oppure nel caso ciò non sia possibile nemmeno ripetendo il vaccino occorre disporre l’isolamento dei malati per ridurre Rp. Questo dipende dall’organizzazione sanitaria o da un controllo poliziesco o alternativamente e meglio dalla cosciente collaborazione della popolazione, che a sua volta si può ottenere o sotto la spinta della paura nell’immediatezza dei fatti (pensate all’epidemia di Ebola per esempio dove un vaccino non c’era e che è stata fermata abbassando Rp), o della conoscenza e della trasparenza in qualunque momento. A voi la scelta.

PS Noto di passaggio che degli oltre 3000 casi di morbillo avvenuti in Italia nei primi 6 mesi dell’anno il 96% si è avuto fra persone non vaccinate o vaccinate una volta sola; questo conferma l’efficacia della strategia della doppia vaccinazione; ma ben 237 fra operatori sanitari. A quando l’obbligo di vaccino EFFETTIVO per gli operatori sanitari?

Ringrazio per gli utili commenti Marco Pagani e Paolo Marani.

Libera traduzione ed adattamento di Claudio Della Volpe dal sito: http://www.mathepi.com/maindir/herd.html.

Per approfondire:

https://en.wikipedia.org/wiki/Herd_immunity

https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_modelling_of_infectious_disease

http://www.maa.org/press/periodicals/loci/joma/the-sir-model-for-spread-of-disease-introduction

VACCINES d CID 2011:52 (1 April) d 911 https://academic.oup.com/cid/article/52/7/911/299077

 

5 thoughts on “O.T. Cosa è l’immunità di gregge: un punto di vista algebrico.

  1. Sono d’accordo alle vaccinazioni obbligatorie alla sola condizione che le imprese produttrici dei vaccini reinvestano tutti gli utili provenienti dall’obbligo di legge in piani di vaccinazione dei paesi in via di sviluppo, abbiano un rapporto tra il salario più alto e quello più basso pari a cinque e seguano un unico protocollo etico per la sperimentazione in ogni Paese.

  2. Tutte argomentazioni validissime ma che potrebbero essere usate per qualunque altro farmaco, e non solo. Si potrebbe dire che siamo contrari a mangiare la pasta perchè le aziende che la producono non reinvestono in piantagioni di cereali nel terzo mondo dove i bambini muoiono di fame, o che siamo contrari a metterci la biancheria intima perchè le aziende che la producono non reinvestono in piantagioni di cotone nei paesi in cui c’è grande bisogno di lavoro…
    Potremmo fare una lista lunga un chilometro di comportamenti non etici da parte di aziende big e non, non solo farmaceutiche. Il fatto è che stiamo portando argomentazioni politiche su un piano che dovrebbe essere solo etico: qui c’è di mezzo la salute delle popolazioni e soprattutto degli individui che sono più deboli (in tutti i sensi). L’etica ci impone prima di tutto di salvaguardare la loro salute. E mai come in questo caso ciascuno di noi è chiamato ad essere consapevole che ciascuna nostra azione avrà sempre una ricaduta (positiva o negativa) sugli altri. Ma non è questo il più alto senso della politica?

  3. @Olga
    Tutte argomentazioni validissime, le tue, solo che nessuno ti obbliga a mangiare la pasta o ad usare biancheria intima, mentree le vaccinazioni si vogliono obbligatorie.

    • L obbligo nasce fal fatto che le persone come te esimio lettore confondono avere la biancheria pulita con le vaccinazioni e verosimilmente le considerano entrambe degli optional

      • Grazie dell’esimio. Pur non vantando i suoi titoli (chemist, university researcher, marxian, peakoiler,climate worried, bridge player, Mozart/Vivaldi loving, pedal biker- aggiungo: piaggeria verso i padroni del mondo) credo di saper distinguere l’insulto dal ragionamento.

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